विभाज्यता का फॉर्मूलाः कैसे जानें कोई संख्या किसी अन्य संख्या से विभाजित होगी या नहीं?

उत्तर प्रदेश के मैनपुरी जनपद के शिक्षक रत्नेश कुमार ने विभाज्यता का ऐसा फॉर्मूला खोजा है, जिससे आसानी से प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए विभाज्यता का नियम बता सकते हैं। 

विभाज्यता का महासूत्र ( Great Formula of Divisibility)

परिभाषा- यदि निरीक्षित की जाने वाली किसी भाज्य संख्या के इकाई अंक में (R+1) का गुणा करके गुणनफल u(R+1) को भाज्य की शेष बची संख्या में (10-U) का गुणा करके प्राप्त गुणनफल (10-U)r को जोड़ दें तो यदि योगफल भाजक से विभाजित हो जाता है तो निरीक्षित की जाने वाली भाज्य संख्या भी भाजक से विभाजित हो जाएगी अर्थात भाजक के लिए विभाज्यता का महासूत्र निम्नवत होगा-

SRU=(10-U)r+u(R+1)

यहाँ S=योगफल (Sum)
RU=भाजक (Divisor) वह संख्या है जिसके लिए विभाज्यता का नियम बनाना है।
U=भाजक का इकाई अंक
=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
R= इकाई अंक को छोड़ने के बाद भाजक की शेष बची संख्या
=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14……. प्राकृतिक संख्या

ru=भाज्य (Dividend ) वह संख्या है जिसे निरीक्षित करना है या जिसमें भाग देना है।
u=भाज्य का इकाई अंक
=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
r=इकाई अंक को छोड़ने के बाद भाज्य की शेष बची संख्या
=0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14…… प्राकृतिक संख्या

चूंकि इस सूत्र से सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए विभाज्यता के नियमों की उत्पत्ति होती है तथा यह एक महा व्यापक सूत्र है अतः इस सूत्र को विभाज्यता का महा सूत्र कहा गया है। विभाज्यता के महासूत्र की सहायता से प्राकृतिक संख्याओं के लिए विभाज्यता के नियमों की उत्पत्ति हम जानते हैं कि विभाज्यता का महासूत्र

SRU=(10-U)r+u(R+1)

7 के लिए विभाजिता का नियम

7 के लिए नियम बनाने के लिए7=07 लिखकर इसकी तुलना RUसे करेंगे इस प्रकार U=7 तथा R=0 प्राप्त होता है। इन दोनों के मान विभाज्यता के महासूत्र में रखने पर हमें 7 के लिए विभाज्यता का नियम प्राप्त होता है।

SRU=(10-U)r+u(R+1)
S07=(10-7)r+u(0+1)
S7= 3r+u……..(1)

यदि निरीक्षक की जाने वाली किसी भाज्य संख्या के इकाई अंक को भाज्य की शेष बची संख्या में 3 का गुणा करके गुणनफल को जोड़ दें तो योगफल 7 से विभाजित हो जाता है तो निरीक्षित की जाने वाली संख्या भी 7 से विभाजित हो जाएगी।
प्रश्न- निरीक्षित कीजिए 343, 7 से विभाजित होगी अथवा नहीं।

हल- 343 की तुलना ru से करने पर u=3 तथा r=34 प्राप्त होता है।इन दोनों के मान समीकरण एक में रखने पर
S7=3r+u…….(1)
S7=3×34+3
=102+3=105=15×7
चूंकि 105, 7 से विभाजित है अतः 343, 7 से विभाजित हो जाएगी।

8 के लिए विभाज्यता का नियम

8 के लिए विभाज्यता का नियम बनाने के लिए 8=08 लिखकर इसकी तुलना RU से करेंगे। इस प्रकार U= 8 तथा R=0 प्राप्त होता है। इन दोनों के मान विभाज्यता के माहासूत्र में रखने पर हमें 8 के लिए विभाज्यता का नियम प्राप्त होता है।
SRU=(10-U)r+u(R+1)
S08=(10-8)r+u(0+1)
S8=2r+u
यदि निरीक्षक की जाने वाली किसी संख्या के इकाई अंक को भाज्य की शेष बची संख्या में 2 का गुणा करके जोड़ दें तो यदि योगदान 8 से विभाजित हो जाता है तो निरीक्षित की जाने वाली संख्या भी 8 से विभाजित हो जाएगी।

नौ के लिए विभाज्यता का नियम

नौ के लिये नियम बनाने के लिए 9=09 लिखकर इसकी तुलना RU से करेंगे। इस प्रकार U=9 तथा R=0 प्राप्त हो जाता है। इन दोनों के मान विभाज्यता के महासूत्र में रखने पर हमें 9 के लिए विभाज्यता का नियम प्राप्त हो जाता है।

SRU=(10-U)r+u(R+1)
S09=(10-9)r+u(0+1)
S9=r+u

यदि किसी संख्या के इकाई अंक को उसकी शेष बची संख्या में जोड़ दें तो यदि योगफल 9 से विभाजित हो जाता है तो दी गई संख्या भी नौ से विभाजित हो जाएगी।
दूसरे शब्दों में यदि किसी संख्या के सभी अंकों का योग 9 से विभाजित हो जाता है तो वह संख्या भी 9 से विभाजित हो जाएगी।

17 के लिए विभाज्यता का नियम

17 की तुलना RU से करने पर R=1 तथा U=7 प्राप्त होता है। इन दोनों के मान विभाज्यता के महासूत्र में रखने पर हमें सत्रह के लिए विभाज्यता का नियम प्राप्त हो जाता है।
SRU=(10-U)r+u(R+1)
S17=(10-7)r+u(1+1)
S17=3r+2u ……….(2)

यदि किसी संख्या के इकाई अंक के दोगुने को उसकी शेष बची संख्या के 3 गुने में जोड़ दें यदि योगफल 17 से विभाजित हो जाता है तो दी गई संख्या भी 17 से विभाजित हो जाएगी।

प्रश्न-निरीक्षित कीजिए कि 289, 17 से विभाजित होगी अथवा नहीं।

हल 289 की तुलना ru , से करने पर U= 9 तथा R=28 प्राप्त होता है। इन दोनों के मान समीकरण नंबर 2 में रखने पर
S17=3r+2u
S17=3×28+2×9
S17=84+18=102=17×6

चूंकि 102 , 17 से विभाजित हो जाएगी अतः 289 भी 17 से विभाजित हो जाएगी।

109 के लिए विभाज्यता का नियम

109 के लिये विभाज्यता का नियम बनाने के लिए इसकी तुलना RU से करेंगे। इस प्रकार U=9 तथा R=10 प्राप्त हो जाता है। इन दोनों के मान विभाज्यता के महासूत्र में रखने पर हमें 109 के लिए विभाज्यता का नियम प्राप्त हो जाता है।

SRU=(10-U)r+u(R+1)
S109=(10-9)r+u(10+1)
S9=r+11u

यदि किसी संख्या के इकाई अंक के 11 गुने को उसकी शेष बची संख्या में जोड़ दें तो यदि योगफल 109 से विभाजित हो जाता है तो दी गई संख्या भी 109 से विभाजित हो जाएगी।

6789 के लिए विभाज्यता का नियम

6789 की तुलना RU से करने पर R=678 तथा U=9 प्राप्त होता है। इन दोनों के मान विभाज्यता के महासूत्र में रखने पर हमें 6789 के लिए विभाज्यता का नियम प्राप्त हो जाता है।
SRU=(10-U)r+u(R+1)
S6789=(10-9)r+u(678+1)
S6789=r+679u

यदि किसी संख्या के इकाई अंक के 679 गुने को उसकी शेष बची संख्या में जोड़ दें यदि योगफल 6789 से विभाजित हो जाता है तो दी गई संख्या भी 6789 से विभाजित हो जाएगी।

नोट- इसी प्रकार हम विभाज्यता के महासूत्र की सहायता से किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए विभाज्यता के नियम बना सकते हैं।

(इस आलेख के लेखक रत्नेश कुमार वर्तमान समय में गणित अध्यापक के पद पर पूर्व-माध्यमिक विद्यालय, जगतपुर, सुल्तानगंज, जनपद मैनपुरी मे कार्यरत हैं। गणित विषय में अपनी रुचि और स्वाध्याय के कारण वे विभिन्न नये तथ्यों को प्रकाश में लाने का प्रयास सतत करते रहते हैं।)